ফাংশন $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ -এর x=2 বিন্দুতে f(x)- এর সর্বনিন্ম মান হবে , কারণ__

Created: 7 years ago | Updated: 2 months ago

Updated: 2 months ago

ক

f"(2)<0
খ

f" (2)<0
গ

f"(2) =0
ঘ

f'(2)=0

723

ব্যাখ্যাঃ ফাংশনের লঘুমান (Local Minimum) বা গুরুমান (Local Maximum) নির্ণয়ের জন্য সাধারণত প্রথম ও দ্বিতীয় অন্তরক (derivative) পরীক্ষা ব্যবহার করা হয়।

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$

প্রথমে ফাংশনটির প্রথম অন্তরক (first derivative) নির্ণয় করি:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 9x)$

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$

এবার ফাংশনটির দ্বিতীয় অন্তরক (second derivative) নির্ণয় করি:

$f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x - 9)$

$f''(x) = 6x - 6$

কোনো ফাংশনের লঘুমান বা গুরুমান থাকার জন্য প্রথম শর্ত হলো, সেই বিন্দুতে ফাংশনের প্রথম অন্তরক শূন্য ($f'(x)=0$) হতে হবে। এই বিন্দুগুলোকে সংকটপূর্ণ বিন্দু (critical points) বলা হয়।

প্রশ্নানুযায়ী, আমাদের $x=2$ বিন্দুতে $f(x)$-এর সর্বনিম্ন মান হবে কিনা তা যাচাই করতে হবে।

$x=2$ বিন্দুতে প্রথম অন্তরকের মান নির্ণয় করি:

$f'(2) = 3(2)^2 - 6(2) - 9$

$f'(2) = 3(4) - 12 - 9$

$f'(2) = 12 - 12 - 9$

$f'(2) = -9$

যেহেতু $f'(2) = -9 \neq 0$, তাই $x=2$ বিন্দুটি কোনো সংকটপূর্ণ বিন্দু নয়। অর্থাৎ, $x=2$ বিন্দুতে ফাংশনটির কোনো লঘুমান বা গুরুমান থাকতে পারে না।

সুতরাং, প্রশ্নটির এই পূর্বশর্ত ("$x=2$ বিন্দুতে $f(x)$- এর সর্বনিম্ন মান হবে") সঠিক নয়। কোনো বিন্দুতে সর্বনিম্ন মান থাকতে হলে, সেই বিন্দুতে অবশ্যই $f'(x)=0$ হতে হবে এবং $f''(x) > 0$ হতে হবে। যেহেতু $f'(2) \neq 0$, তাই $x=2$ বিন্দুতে সর্বনিম্ন মান হওয়ার প্রশ্নই ওঠে না।

যদি প্রশ্নটি সঠিক হতো এবং $x=2$ বিন্দুতে সর্বনিম্ন মান থাকত, তবে তার কারণ হিসেবে $f'(2)=0$ এবং $f''(2)>0$ উভয় শর্তই প্রযোজ্য হতো। তবে, শুধুমাত্র দ্বিতীয় অন্তরক পরীক্ষার ক্ষেত্রে, যদি $f'(c)=0$ হয়, তাহলে $f''(c)>0$ হলে লঘুমান এবং $f''(c)<0$ হলে গুরুমান হয়।

$x=2$ বিন্দুতে দ্বিতীয় অন্তরকের মান নির্ণয় করি:

$f''(2) = 6(2) - 6$

$f''(2) = 12 - 6$

$f''(2) = 6$

আমাদের গণনায় $f'(2) = -9$ এবং $f''(2) = 6$ পাওয়া গেছে। যেহেতু $f'(2)$ শূন্য নয়, তাই $x=2$ বিন্দুতে কোনো লঘুমান বা গুরুমান থাকার সম্ভাবনা নেই। প্রশ্নটির পূর্বশর্তটি ভুল।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়, কারণ প্রশ্নের পূর্বশর্তটি ভুল।

Satt AI

1 day ago

MCQ: 79 CQ: 20

Practice

ফাংশন (Function)

ফাংশন হলো এমন একটি বিশেষ অন্বয় যেখানে একটি সেটের প্রতিটি উপাদানের জন্য অপর সেটে ঠিক একটি নির্দিষ্ট উপাদান নির্ধারিত থাকে।

মৌলিক ধারণা

যদি A এবং B দুটি সেট হয়, তবে A থেকে B তে একটি ফাংশন বলতে বোঝায় A-এর প্রতিটি উপাদানের সাথে B-এর ঠিক একটি উপাদানের সম্পর্ক স্থাপন।

প্রতীক

ফাংশনকে সাধারণত f, g, h ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

গাণিতিক প্রকাশ

$f : A \to B$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A = {1, 2, 3}$

এবং একটি ফাংশন f সংজ্ঞায়িত করা হলো:

f(x) = x + 1

তাহলে,

$f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}$

ফাংশনের শর্ত

A-এর প্রতিটি উপাদানের জন্য একটি মাত্র মান থাকবে
একটি ইনপুটের একাধিক আউটপুট থাকতে পারবে না
একটি আউটপুট একাধিক ইনপুটের হতে পারে

ফাংশনের উপাদান

ডোমেইন (Domain): ইনপুট সেট A
কো-ডোমেইন (Codomain): সেট B
রেঞ্জ (Range): প্রকৃত আউটপুটগুলোর সেট

উদাহরণ

f(x) = 2x হলে,

$f (2) = 4$

বৈশিষ্ট্য

ফাংশন একটি বিশেষ অন্বয়
প্রতিটি ইনপুটের একটি নির্দিষ্ট আউটপুট থাকে
গ্রাফ আকারে প্রকাশ করা যায়
গণিত ও বিজ্ঞানে গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার আছে

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ফাংশন মানে হলো “প্রতিটি ইনপুটের জন্য ঠিক একটি আউটপুট নির্ধারণ”।

মনে রাখার উপায়

“এক ইনপুট → এক আউটপুট = ফাংশন” — এই নিয়ম মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

নিচের A ও B সেটের অন্বয় লক্ষ করি :

যখন y = x + 2, তখন

x = 1 হলে, y = 3

x = 2 হলে, y = 4

x = 3 হলে, y = 5

অর্থাৎ x এর একটি মানের জন্য y এর মাত্র একটি মান পাওয়া যায় এবং x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক তৈরি হয় y = x + 2 দ্বারা। সুতরাং দুইটি চলক x এবং y এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত যেন x এর যেকোনো একটি মানের জন্য y এর একটি মাত্র মান পাওয়া যায়, তবে y কে c এর ফাংশন বলা হয়। এর ফাংশনকে সাধারণত y, f(x), g(x), F(x) ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মনে করি, $y = x^{2} - 2 x + 3$ একটি ফাংশন। এখানে, x এর যে কোনো একটি মানের জন্য y এর একটি মাত্র মান পাওয়া যাবে। এখানে, x এবং y উভয়ই চলক তবে, x এর মানের উপর y এর মান নির্ভরশীল। কাজেই x হচ্ছে স্বাধীন চলক এবং y হচ্ছে অধীন চলক।

উদাহরণ ১. $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ হলে, f(−1) নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

$∴ ƒ (- 1) = (- 1) ² - 4 (- 1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$

উদাহরণ ২. যদি $g (x) = x^{3} + a x^{2} - 3 x - 6$ হয় তবে a এর কোন মানের জন্য g(-2) = 0?

সমাধান : দেওয়া আছে, $g (x) = x^{3} + a x^{2} - 3 x - 6$

$∴ g (- 2) = {(- 2)}^{3} + a {(- 2)}^{2} - 3 (- 2) - 6$

= 8 + 4a + 6 6 = 4a - 8

প্রশ্নানুসারে g(-2) = 0

$∴$ 4a – 8 = 0 বা, 4a = 8 বা, a = 2

$∴$ a = 2 হলে, g(-2) = 0

ফাংশন $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ -এর x=2 বিন্দুতে f(x)- এর সর্বনিন্ম মান হবে , কারণ__

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

ফাংশন f(x)=x3-3x2-9x -এর x=2 বিন্দুতে f(x)- এর সর্বনিন্ম মান হবে , কারণ__

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

ফাংশন $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ -এর x=2 বিন্দুতে f(x)- এর সর্বনিন্ম মান হবে , কারণ__